Kapitel 1 Elementares Rechnen

Abschnitt 1.4 Potenzen und Wurzeln

1.4.2 Rechnen mit Potenzen


Die folgenden Rechenregeln ermöglichen das Umformen und Vereinfachen von Ausdrücken, die Potenzen oder Wurzeln enthalten:
Info 1.4.13
 
Für a,b,a,b>0,p,q gelten die Potenzgesetze:

ap · bp =(a·b )p , ap bp = ( a b )p , ap · aq = ap+q , ap aq = ap-q ,( ap )q = ap·q .


Insbesondere ist zu beachten, dass im Allgemeinen ( ap )q a pq ist, d. h. bei mehrfachem Potenzieren sollten Klammern gesetzt werden. Zum Beispiel ist ( 23 )2 = 82 =64, aber 2( 32 ) = 29 =512.  
Formel zu klein? Mit einem Doppelklick auf eine Formel wird sie vergrößert dargestellt.  
Beispiel 1.4.14
Sind keine Klammern gesetzt, so wird a pq als a( pq ) interpretiert, also beispielsweise

2 34 = 23·3·3·3   =   281   =  2417851639229258349412352     (Exponent zuerst ausgewertet) ( 23 )4 = 84   =  4096     (Klammer zuerst ausgewertet) .

Alternativ könnte man auch mit den Potenzgesetzen ( 23 )4 = 2(3·4) = 212 =4096 ausrechnen.

Aufgabe 1.4.15
Die folgenden Ausdrücke kann man mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen:
  1. 33 · 35 · 3-1 = .

  2. 42 · 32 = .


Beim Vergleichen von Potenzen und Wurzeln ist Vorsicht geboten: Nicht nur die Zahlenwerte, auch die Vorzeichen von Exponent und Basis haben einen Einfluss darauf, ob der Wert der Potenz groß oder klein ist:
Beispiel 1.4.16
Bei positiver Basis und negativen Exponenten nimmt der Wert der Potenz ab, wenn man die Basis vergrößert:

2-1 = 1 2   =  0.5 3-1 = 1 3   =  0. 3 4-1 = 1 4   =  0.25   usw.


Bei negativer Basis wechselt dagegen das Vorzeichen der Potenz, wenn man den Exponenten erhöht:

(-2 )1 = -2 (-2 )2 = 4 (-2 )3 = -8 (-2 )4 = 16   usw.


Das Ziehen von Wurzeln (bzw. Potenzieren mit einer positiven Zahl kleiner Eins) verkleinert eine Basis >1, aber vergrößert eine Basis <1:

2 = 1.414    <    2 3 = 1.732    <    3 0.5 = 0.707    >    0.5 0. 3 = 0.577    >    0. 3    usw.



Aufgabe 1.4.17
Ordnen Sie diese Potenzen der Größe nach an unter Beachtung der Vorzeichen von Basen und Exponenten: 23 , 2-3 , 32 , (-3 )2 , (-3 )-2 , 3 1 2 , 2 1 3 :  

  < 
  < 
  < 
  < 
  < 
  = 
 .