Kapitel 11 Sprechweisen der Statistik

Abschnitt 11.1 Begriffe und Sprechweisen

11.1.3 Bemerkungen zu den Rundungsvorgängen

Wie die folgenden Überlegungen und Beispiele zeigen, muss man beim Rechnen mit gerundeten Ergebnissen sehr kritisch sein. Man betrachte die Menge M=0 aller nicht negativen rellen Zahlen und führe auf der Menge M die Multiplikation

M×M  M    ,    (a,b)    ab

über die Berechnungsvorschrift

ab  =   1 102 · round ( 102 ·a·b)  =   1 102 · 102 ·a·b+ 1 2

ein. Anschaulich bedeutet dies, dass das Produkt ab berechnet wird, indem zunächst das gewöhnliche Produnkt a·b berechnet wird und das Ergebnis dann auf zwei Nachkommastellen mathematisch gerundet wird.  
Das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt nicht mehr für die gerundete Multiplikation: Für die Zahlen a=2,11, b=3,35 und c=2,61 gilt beispielsweise

ab  =  2,113,35  =  7,07   und   (ab)c  =  7,072,61  =  18,45.

Setzt man die Klammern um, so erhält man aber

bc  =  3,352,61  =  8,74     und     a(bc)  =  2,118,74  =  18,44.


Info 11.1.11
 
Da Taschenrechner (und Computer) stets mit gerundeten Ergebnissen rechnen, bedeutet dies, dass das Assoziativgesetz der Multiplikation auf Taschenrechnern nicht uneingeschränkt gültig ist.

Ebenso können falsche Ergebnisse durch ungeschicktes Runden entstehen: Dazu seien a=4,98 und b=1,001. Dann gilt

a·b  =  4,98·1,001  =  4,98498   also   ab  =  4,981,001  =  4,98  =  a.

Weiter gilt

a· b1000   =  4,98·1, 0011000   =  a· b··b 1000   Faktoren 13,53028118.

Rundet man jetzt nach jeder durchgeführten Multiplikation auf 2 Nachkommastellen, so erhält man wegen ab=a das völlig falsche Resultat

(((a b)b)b 1000   Faktoren )  =  a  =  4,98.


Info 11.1.12
 
Dies bedeutet für die Praxis, dass man grundsätzlich mit mindestens der doppelten Genauigkeit rechnen muss und erst das Endergebnis auf die vorgeschriebene Genauigkeit runden darf.