Kapitel 5 Geometrie

Abschnitt 5.5 Elementargeometrische Körper

5.5.3 Aufgaben

Aufgabe 5.5.9

Berechnen Sie das Volumen eines Prismas der Höhe

h = 8 cm

, dessen Grundfläche ein Dreieck ist, von dem zwei Seiten

5 cm

lang sind, und eine Seite

6 cm

lang ist.
Antwort:

cm^{3}

Die Grundfläche des Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck mit den gleich langen Seiten

a

und

b

und einer weiteren Seite

c

. Deshalb kann die Höhe

h_{c}

auf

c

mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Mit den angegebenen Werten erhält man die Höhe

h_{c} = \sqrt{(5 cm)^{2} - {(\frac{6 cm}{2})}^{2}} = 4 cm

und damit den Flächeninhalt

G = \frac{1}{2} \cdot 6 cm \cdot 4 cm = 12 cm^{2}

. Das gesuchte Volumen

V

des Prismas ist

V = G \cdot h = 12 cm^{2} \cdot 8 cm = 96 cm^{3}

Aufgabe 5.5.10

Die Oberfläche eines Zylinders mit einer Höhe von

h = 6.0 cm

soll mit einer Farbfolie beklebt werden. Die Oberfläche soll

O = 200.0 cm^{2}

groß sein. Berechnen Sie den Durchmesser

d

der Kreisfläche und das Volumen

V

des Zylinders. Verwenden Sie als Näherung für

π

den Wert

3.1415

und runden Sie Ihre Ergebnisse auf eine Nachkommastelle (dies entspricht einer Genauigkeit von einem Millimeter beziehungsweise Qubikmillimeter).
Antworten:

Durchmesser $d$ $=$
$cm$

Die Oberfläche eines Zylinders ergibt sich aus der Summe der Grundflächen und der Mantelfläche:

$O = 2 \cdot π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} + π \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot π \cdot d^{2} + π \cdot h \cdot d = \frac{π}{2} \cdot (d^{2} + 2 \cdot h \cdot d) .$
In der Aufgabe sind die Oberfläche $O$ und die Höhe $h$ des Zylinders gegeben. Damit kann der gesuchte Kreisdurchmesser $d$ des Bodens berechnet werden, indem eine Lösungsformel für eine quadratische Gleichung verwendet wird oder eine quadratische Ergänzung vorgenommen wird (siehe Kapitel 1): Multiplikation mit $\frac{2}{π}$ und Addition von $h^{2}$ führt auf

$(d + h)^{2} = d^{2} + 2 h d + h^{2} = \frac{2 \cdot O}{π} + h^{2},$
woraus

$d = - h + \sqrt{\frac{2 \cdot O}{π} + h^{2}}$
folgt. Mit den angegebenen Zahlenwerten ergibt sich

$d \approx - 6.0 cm + \sqrt{\frac{2 \cdot 200.0 cm^{2}}{3.1415} + 6.0^{2} cm^{2}} = - 6.0 cm + \sqrt{\frac{400.0 cm^{2}}{3.1415} + 36.0 cm^{2}} \approx 6.8 cm$
für den gesuchten Durchmesser.
Volumen $V$ $=$
$cm^{3}$ (mit dem gerundeten Ergebnis der ersten Teilaufgabe)

Mit dem in der vorherigen Teilaufgabe berechneten Durchmesser $d = 6.8 cm$ erhält man das Volumen $V$ des Zylinders:

$\begin{matrix} V = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} \cdot h \approx 3.1415 \cdot {(\frac{6.8 cm}{2})}^{2} \cdot 6.0 cm & = & 3.1415 \cdot 11.56 cm^{2} \cdot 6.0 cm \\ = & 3.1415 \cdot 69.36 cm^{3} \\ \approx & 217.9 cm^{3} . \end{matrix}$
Anmerkung: Wenn das Ergebnis des Durchmessers $d \approx 6.78 cm$ mit zwei Nachkommastellen berechnet wird, erhält man $V \approx 216.61 cm^{3}$ als Wert für das Volumen.

Aufgabe 5.5.11

Es ist ein Holzstück in Form eines Quaders mit dem Volumen

V_{0}

gegeben. Der Quader ist

h = 120 cm

hoch, und die Grundfläche besteht aus einem Quadrat mit einer Seitenlänge von

s = 40 cm

. Aus dem Holzstück wird ein zylinderförmiges Loch der Höhe

h

mit einem Durchmesser von

d = 20 cm

„mittig“ ausgebohrt (das heißt, der Schnittpunkt der Diagonalen der quadratischen Grundfläche bildet den Mittelpunkt der Kreisscheibe des Zylinders). Verwenden Sie als Näherung für

π

den Wert

3.1415

und runden Sie Ihre Ergebnisse auf ganze Zahlen. Berechnen Sie

das Volumen $V_{Z}$ des ausgebohrten Hohlraums:
$V_{Z}$ $=$
$cm^{3}$

Das Volumen des Zylinders ist

$V_{Z} = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} \cdot h \approx 3.1415 \cdot {(\frac{20 cm}{2})}^{2} \cdot 120 cm = 3.1415 \cdot 12000 cm^{3} = 37698 cm^{3}$
den prozentualen Anteil des Volumens $V_{1}$ des neuen Holzstücks, das nach dem Ausbohren von $V_{0}$ noch vorhanden ist:
Antwort:
$%$

Das Volumen $V_{0}$ des Holzstücks ist

$V_{0} = s^{2} \cdot h = {(40 cm)}^{2} \cdot 120 cm = 1600 \cdot 120 cm^{3} = 16 \cdot 12000 cm^{3} = 192000 cm^{3}$
Damit ist der Anteil $p_{Z}$ des ausgebohrten Zylinders durch

$p_{Z} = \frac{V_{Z}}{V_{0}} = \frac{π \cdot 12000 cm^{3}}{16 \cdot 12000 cm^{3}} \approx \frac{3.1415}{16} \approx 19.6 \approx 20 %$
und somit $p = (100 - 20) % = 80 %$ der prozentuale Anteil des neuen Holzstücks im Vergleich zum ursprünglichen Holzquader.

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