Kapitel 3 Ungleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 3.1 Ungleichungen und ihre Lösungsmengen

3.1.2 Auflösen einfacher Ungleichungen


Ist die Unbekannte in einer Ungleichung isoliert, so ist die Lösungsmenge ein Intervall, vgl. auch Infobox 1.1.5:
Info 3.1.3
 
Die aufgelösten Ungleichungen haben folgende Intervalle als Lösungsmenge:
  • x<a besitzt die Lösungsmenge ]-∞;a[ , alle x, die kleiner als a sind.
  • x≤a besitzt die Lösungsmenge ]-∞;a], alle x, die kleiner oder gleich a sind.
  • x>a besitzt die Lösungsmenge ]a;∞[ , alle x, die größer als a sind.
  • x≥a besitzt die Lösungsmenge [a;∞[ , alle x, die größer oder gleich a sind.
Dabei ist x die Unbekannte und a ein konkreter Zahlenwert. Tritt die Unbekannte in der Ungleichung nicht mehr auf, so ist die Lösungsmenge entweder ℝ= ]-∞;∞[ , falls die Ungleichung erfüllt ist, oder die leere Menge {}, falls die Ungleichung nicht erfüllt ist.

Das Zeichen ∞ bedeutet dabei unendlich. Ein endliches Intervall hat als Intervallgrenzen Zahlen oder Variablen (ungleich unendlich). Es hat die Form ]a;b[ , was „alle Zahlen zwischen a und b“ bedeutet, ohne die beiden Zahlen a und b. Möchte man die Zahlenmenge nur auf einer Seite begrenzen, so kann man für die andere Seite die Symbole ∞ (rechts) oder -∞ (links) einsetzen.
Wie schon bei den Gleichungen versucht man durch Umformungen, welche die Lösungsmenge nicht verändern, eine aufgelöste Ungleichung zu erhalten, aus der man die Lösungsmenge einfach ablesen kann:
Info 3.1.4
 
Um aus einer gegebenen Ungleichung eine aufgelöste Ungleichung zu erhalten, sind folgende Äquivalenzumformungen erlaubt:
  • Addition einer Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung: a<b ist äquivalent zu a+c<b+c.
  • Multiplikation mit einer positiven Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung: a<b ist äquivalent zu a·c<b·c, falls c>0 ist.
  • Multiplikation mit einer negativen Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung und Umdrehung des Vergleichssymbols: a<b ist äquivalent zu a·c>b·c, falls c<0 ist.

Beispiel 3.1.5
Die Ungleichung - 3 4 x- 1 2 <2 löst man schrittweise mit den obigen Umformungen auf:

- 3 4 x- 1 2 <2    ‖               + 1 2   ⇔ - 3 4 x<2+ 1 2     ‖               ·(- 4 3 )  ⇔ x>- 4 3 (2+ 1 2 )    ‖                  Vereinfachen ⇔ x>- 20 6   =  - 10 3  .

Damit besitzt die ursprüngliche Ungleichung die Lösungsmenge ]- 10 3 ;∞[ . Wichtig ist bei den Umformungen, dass die Multiplikation mit der negativen Zahl - 4 3 das Vergleichssymbol umdreht.

Aufgabe 3.1.6
Sind diese Ungleichungen richtig oder falsch?
   1 2 >1- 1 3
   a2 ≥2ab- b2 (wobei a und b unbekannte Zahlen sind)
   1 2 < 2 3 < 3 4
  Angenommen a<b, dann ist immer auch a2 < b2 .


Aufgabe 3.1.7
Welche Lösungsmengen besitzen die folgenden Ungleichungen?
  1. 2x+1>3x-1 besitzt das Lösungsintervall L  =  .
  2. -3x- 1 2 ≤x+ 1 2 besitzt das Lösungsintervall L  =  .
  3. x- 1 2 ≤x+ 1 2 besitzt das Lösungsintervall L  =  .
Geben Sie Intervalle in der Form [a;b], ]a;b], etc. an. Für die Intervallgrenzen dürfen auch Brüche oder unendlich bzw. negativ -unendlich eingesetzt werden. Achten Sie darauf, ob die Randpunkte enthalten sind.

Info 3.1.8
 
Eine Ungleichung in der Unbekannten x ist linear, falls auf beiden Seiten der Ungleichung nur Vielfache von x und Konstanten vorkommen. Jede lineare Ungleichung lässt sich durch Äquivalenzumformungen zu einer der aufgelösten Gleichungen aus 3.1.3 umformen.


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