Kapitel 3 Ungleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 3.2 Umformen von Ungleichungen

3.2.2 Aufgaben

Wird mit zusammengesetzten Termen multipliziert, so ist genauer zu untersuchen, für welche

x

die Fallunterscheidung vorgenommen werden muss:

Aufgabe 3.2.4

Untersucht werden soll die Ungleichung

\frac{1}{4 - 2 x} < 3

. Zunächst besitzt sie die Definitionsmenge

D = ℝ ∖ {2}

, da nur für diese

x

der Nenner zulässig ist. Für die Multiplikation mit dem Term

4 - 2 x

gibt es drei Fälle. Füllen Sie den Lückentext dazu passend aus:

Auf dem Intervall
ist der Term positiv, das Vergleichssymbol bleibt erhalten und die neue Ungleichung lautet $1 <$
. Lineares Umformen ergibt die Lösungsmenge $L_{1}$ $=$
. Die Elemente der Menge erfüllen die Vorbedingung.
Auf dem Intervall
ist der Term negativ, das Vergleichssymbol wird gedreht. Die neue Ungleichung hat zunächst die Lösungsmenge
, wegen der Vorbedingung ist aber nur die Teilmenge $L_{2}$ $=$
davon zulässig.
Der Einzelwert $x = 2$ ist keine Lösung der ursprünglichen Ungleichung, da er nicht zu der
gehört.

Skizzieren Sie die Lösungsmenge der Ungleichung in einem Zahlenstrahl und markieren Sie die Randpunkte.

Auf dem Intervall

] - \infty; 2 [

ist der Term positiv mit Lösungsmenge

] - \infty; \frac{11}{6} [

.
Auf dem Intervall

] 2; \infty [= (2; \infty)

ist der Term dagegen negativ, das Vergleichssymbol wird gedreht. Die neue Ungleichung hat zunächst die Lösungsmenge

] \frac{11}{6}; \infty [

, wegen der Vorbedingung

x > 2

ist aber nur die Teilmenge

L_{2} =] 2; \infty [= (2; \infty)

davon zulässig.
Insgesamt ist die Vereinigungsmenge

L = L_{1} \cup L_{2} = ℝ ∖ [\frac{11}{6}; 2]

die Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung, die Randpunkte gehören nicht dazu (z.B.

x = 2

ist nicht in der Definitionsmenge):

Aufgabe 3.2.5

Die Lösungsmenge der Ungleichung

\frac{x - 1}{x - 2} \leq 1

ist

L

=

Die Definitionsmenge der Ungleichung ist

D = ℝ ∖ {2}

Im Fall $x > 2$ multipliziert man mit $x - 2$ und erhält $x - 1 \leq x - 2$ , was äquivalent zur falschen Aussage $- 1 \leq - 2$ ist. Der erste Fall trägt nichts zur Lösungsmenge bei.
Im Fall $x < 2$ multipliziert man mit $x - 2$ und erhält $x - 1 \geq x - 2$ , was äquivalent zur wahren Aussage $- 1 \geq - 2$ ist. Wegen der Vorbedingung ist das Lösungsintervall für diesen Fall aber nur $L_{2} =] - \infty; 2 [$ .
Der Einzelwert $x = 2$ ist keine Lösung, weil er im Definitionsbereich ausgeschlossen wurde.

Die Lösungsmenge ist also insgesamt

L =] - \infty; 2 [

ohne die Randpunkte (auch wenn die Ursprungsungleichung mit

\leq

aufgebaut war).

Aufgabe 3.2.6

Die Lösungsmenge der Ungleichung

\frac{1}{1 - \sqrt{x}} < 1 + \sqrt{x}

ist

L

=

Die Definitionsmenge der Ungleichung ist

D = [0; \infty [∖ {1}

, da nur für diese

x

die Wurzeln und der Nenner zulässig sind.

Im Fall $0 \leq x < 1$ multipliziert man mit $1 - \sqrt{x}$ und erhält $1 < (1 + \sqrt{x}) (1 - \sqrt{x})$ , was äquivalent zur Aussage $1 < 1 - x$ ist. Diese ist für $x < 0$ erfüllt, aber diese $x$ verletzen die Fallbedingung und kommen daher nicht in die Lösungsmenge.
Im Fall $x > 1$ multipliziert man mit $1 - \sqrt{x}$ und erhält $1 > 1 - x$ , was äquivalent zu $x > 0$ ist. Aber nur die $x$ aus $] 1; \infty [$ erfüllen auch die Fallbedingung, also ist $L =] 1; \infty [= (1; \infty)$ das einzige Lösungsintervall für die ursprüngliche Ungleichung.
Der Einzelwert $x = 1$ ist keine Lösung, weil er im Definitionsbereich ausgeschlossen wurde.

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2. Gleichungen in einer Unbekannten

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8. Integralrechnung

9. Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

10. Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

11. Sprechweisen der Statistik

Kapitel 3 Ungleichungen in einer Unbekannten

3.2.2 Aufgaben

Aufgabe 3.2.4

Aufgabe 3.2.5

Aufgabe 3.2.6