Kapitel 6 Elementare Funktionen

Abschnitt 6.6 Eigenschaften und Konstruktion elementarer Funktionen

6.6.2 Symmetrie


Info 6.6.1
 
Eine Funktion f: heißt gerade oder achsensymmetrisch, falls für alle x

f(x)=f(-x)

gilt. Analog heißt die Funktion ungerade oder punktsymmetrisch, falls für alle x

f(x)=-f(-x)

gilt.

Diese beiden Symmetriebedingungen für Funktionen sagen also etwas über das Aussehen ihrer Graphen aus. Bei geraden Funktionen ändert sich der Graph bei Spiegelung an der y-Achse nicht, und bei ungeraden Funktionen ändert sich der Graph bei Spiegelung am Ursprung nicht. Wir listen einige Beispiele auf.
Beispiel 6.6.2
  • Die Funktionen

    f1 :  { x x2

    und

    f2 :  { x|x|,

    also die Standardparabel (vgl. Abschnitt 6.2.6) und die Betragsfunktion (vgl. Abschnitt 6.2.5), sind Beispiele für gerade Funktionen. Es gilt f1 (-x)=(-x )2 = x2 = f1 (x) und f2 (-x)=|-x|=|x|= f2 (x) für alle x. Die Graphen weisen die Spiegelsymmetrie an der y-Achse auf:

  • Die Funktion

    g:  { x x3 ,


    also die kubische Parabel (vgl. Abschnitt 6.2.6), ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion. Es gilt g(-x)=(-x )3 =- x3 =-g(x) für alle x. Der Graph ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs:


Natürlich sind die Symmetrieeigenschaften von Funktionen auch benutzbar, wenn der Definitionsbereich der Funktion nicht die gesamten reellen Zahlen umfasst. Es muss dann aber eine Definitionsmenge vorliegen, die die 0 in der Mitte des Intervalls enthält. Ein Beispiel dafür ist die Tangens-Funktion in der Aufgabe unten.
Aufgabe 6.6.3
Geben Sie von den folgenden Funktionen jeweils an, ob diese gerade, ungerade oder nicht-symmetrisch sind.


  • f:  { xex




  • g:  { ysin(y)




  • h:  { (- π 2 ; π 2 ) αtan(α)




  • i:  { ucos(u)




  • j:  { x42