Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Abschnitt 4.2 LGS mit zwei Unbekannten

4.2.3 Die Additionsmethode

Es soll noch ein weiteres, drittes, Verfahren zur rechnerischen Lösung von Linearen Gleichungssystemen vorgestellt werden, das sein eigentliches Potential aber erst bei größeren Systemen, d.h. vielen linearen Gleichungen in vielen Unbekannten entwickeln wird, da es sich sehr gut systematisieren lässt. Hier soll es um die prinzipielle Vorgehensweise gehen. Zu Beginn wird ein Beispiel betrachtet:
Beispiel 4.2.12
Man sucht die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems

Gleichung (1):2x+y=9, Gleichung (2):3x-11y=1,

wobei als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen gewählt wird.
Diesmal wird zur Lösung folgender Weg eingeschlagen: Man multipliziert Gleichung  (1) mit dem Faktor 11 durch und erhält eine zu Gleichung  (1) äquivalente Gleichung:

(2x+y)·11=9·11 22x+11y=99: Gleichung (1').

Anschließend addiert man die neue Gleichung (1') zu Gleichung (2) hinzu, d.h. man setzt die Summe der linken Seiten von (2) und (1') gleich der Summe der rechten Seiten von (2) und (1'). Dabei fällt die Unbekannte  y heraus; dies ist übrigens der Grund für die Wahl des Faktors 11 im vorherigen Schritt:

3x-11y+22x+11y=1+9925x=100x=4.

Um den Lösungswert für y zu bekommen, kann man das gerade erzielte Resultat für x z.B. in Gleichung  (1) einsetzen:

2·4+y=98+y=9y=1.

Das Lineare Gleichungssystem des vorliegenden Beispiels besitzt also eine eindeutige Lösung, L={(x=4;y=1)}.
Auch bei diesem Verfahren ist das Vorgehen nicht eindeutig festgelegt: So hätte man z.B. auch Gleichung  (1) mit 3 und Gleichung  (2) mit (-2) durchmultiplizieren können,

(2x+y)·3=9·36x+3y=27: Gleichung (1''), (3x-11y)·(-2)=1·(-2)-6x+22y=-2: Gleichung (2''),

um bei der anschließenden Addition der Gleichungen  (1'') und (2'') die Variable x zu eliminieren:

6x+3y-6x+22y=27-225y=25y=1.

Das Ergebnis für y hätte man dann z.B. in Gleichung  (2) einsetzen können, um x zu bestimmen:

3x-11·1=13x=12x=4.

Info 4.2.13
 
Bei der Additionsmethode wird eine der linearen Gleichungen durch geschickte Multiplikation mit einem geeigneten Faktor so umgeformt, dass bei der anschließenden Addition der anderen Gleichung (zumindest) eine Unbekannte herausfällt. (Manchmal ist es einfacher, beide Gleichungen vor der Addition mit passend gewählten Faktoren zu multiplizieren.) Wie im Fall der Einsetzmethode 4.2.7 (oder der Gleichsetzmethode 4.2.9) könnenanschließend drei Fälle auftreten, die auf eine Lösungsmenge L mit genau einem Element, keinem Element oder unendlich vielen Elementen führen.