Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Abschnitt 4.4 Allgemeinere Systeme

4.4.3 Aufgaben

Aufgabe 4.4.3
Es sollen der Achsenabschnitt b und die Steigung m einer Geraden mit der Darstellung y=mx+b bestimmt werden, welche durch zwei Punkte festgelegt wird. Der erste Punkt an der Stelle x1 =α liegt auf der Geraden, welche durch die Gleichung y1 (x)=-2(1+x) beschrieben wird; der zweite Punkt an der Stelle x2 =β liegt auf der Geraden, die durch y2 (x)=x-1 beschrieben wird. Die Situation wird durch die nachfolgende Graphik verdeutlicht.
  1. Bestimmen Sie das Gleichungssystem für die Geradenparameter b und m.
    Die erste Gleichung lautet mα+b =
    ;
    die zweite Gleichung lautet mβ+b =
    .
    Die Konstanten α und β müssen in der Lösung stehen bleiben; für diese kann man alpha und beta eingeben.
  2. Lösen Sie dieses Gleichungssystem für b und m. Für welche α und β ergibt sich eine eindeutige, keine bzw. unendlich viele Lösungen?
    Z.B. erhält man für den Fall α=-2 und β=2 die Lösung m =
    und b =
    , für den Fall α=2 und β=-2 ergibt sich die Lösung m =
    und b = .
    Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, falls α =
    und β =
    ist.
    Die zugehörigen Lösungen lassen sich parametrisieren mit m=r und b =
    , r.
  3. Was bedeuten die letzten beiden Fälle, d.h. keine bzw. unendlich viele Lösungen, anschaulich?

Aufgabe 4.4.4
Bestimmen Sie für das folgende parameterabhängige LGS die Lösungsmenge für alle t:

x-y+tz=t Gl. (1), tx+(1-t)y+(1+ t2 )z=-1+t Gl. (2), (1-t)x+(-2+t)y+(-1+t- t2 )z= t2 Gl. (3).


Das LGS besitzt Lösungen nur für folgende Werte des Parameters: t
.
Mengen können in der Form {a;b;c; } eingegeben werden. Die leere Menge kann als {} eingegeben werden.
Für den kleinsten dieser Parameterwerte kann die Lösung angegeben werden durch:
x =
, y =
, z=r, r.
Für den größten dieser Parameterwerte kann die Lösung angegeben werden durch:
x =
, y =
, z=r, r.