Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.1 Ableitung einer Funktion

7.1.3 Ableitung


Schreibweisen der Ableitung 7.1.3
In der Mathematik sowie auch in den Natur- und Ingenieurwissenschaften werden verschiedene Schreibweisen der Ableitung äquivalent verwendet:

f'( x0 )= df dx ( x0 )= d dx f( x0 ).

Diese Schreibweisen haben jeweils die Bedeutung der Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 .

Wenn die Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten f(x)-f( x0 ) x- x0 berechnet werden muss, bietet es sich oft an, den Differenzenquotienten anders aufzuschreiben. Verwendet man die Differenz von x und x0 und bezeichnet sie als h:=x- x0 ,

kann der Differenzenquotient mit x= x0 +h umgeschrieben werden zu

f(x)-f( x0 ) x- x0 = f( x0 +h)-f( x0 ) h .

Es wurde keine Voraussetzung darüber getroffen, ob x größer oder kleiner als x0 ist. Die Größe h kann daher positive oder negative Werte annehmen. Um die Ableitung der Funktion f zu bestimmen, muss nun der Grenzwert für h0 berechnet werden:

f'( x0 )= limx x0 f(x)-f( x0 ) x- x0 = limh0 f( x0 +h)-f( x0 ) h .

Wenn dieser Grenzwert für alle Stellen x0 aus dem Definitionsbereich einer Funktion existiert, so nennt man diese Funktion (insgesamt) differenzierbar. Viele der häufig benutzten Funktionen sind differenzierbar. Ein einfaches Beispiel dafür, dass eine Funktion nicht unbedingt differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion f: mit xf(x):=|x|.
Beispiel 7.1.4
Die Betragsfunktion (siehe Modul 6, Abschnitt 6.2.5) ist an der Stelle x0 =0 nicht differenzierbar. Der Differenzenquotient für f an der Stelle x0 =0 lautet:

f(0+h)-f(0) h = |h|-|0| h = |h| h .

Da h größer oder kleiner als 0 sein kann, sind zwei Fälle zu unterscheiden: Im Fall h>0 ist |h| h = h h =1, im Fall h<0 erhält man |h| h = -h h =-1. Der Grenzwertprozess, dass h sich 0 nähert, führt in den beiden Fällen also auf zwei verschiedene Ergebnisse ( 1 und -1). Daher existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle x0 =0 nicht. Als Folge davon ist die Betragsfunktion an der Stelle x0 =0 nicht differenzierbar.
Der Verlauf des Graphen ändert seine Richtung im Punkt (0;0) sprunghaft: Salopp ausgedrückt, weist der Funktionsgraph im Punkt (0;0) einen Knick auf.

Auch wenn eine Funktion eine Sprungstelle hat, gibt es keine eindeutige Tangente an den Graphen und somit keine Ableitung.