7.4.4 Aufgaben

Das Monotonieverhalten wird durch die Ableitung $f\text{'}$ der Funktion $f$ bestimmt. Da der Graph der Ableitung $f\text{'}$ in der Aufgabenstellung als Schaubild gegeben ist, muss man nur ablesen, in welchen Intervallen der Graph oberhalb (bzw. unterhalb) der $x$-Achse verläuft: Auf den Intervallen $[-4.5;-4[$, $]0;3[$ und $]3;4[$ ist $f\text{'}(x)>0$ und $f$ daher dort monoton wachsend; auf dem Intervall $]-4;0[$ dagegen ist $f\text{'}(x)<0$ und $f$ daher dort monoton fallend.
An einer Extremstelle $x_e$ (Maximal- oder Minimalstelle) einer Funktion $f$ (die nicht auf dem Rand des Definitionsbereichs liegt) verschwindet die erste Ableitung: $f\text{'}(x_e)=0$. Anschaulich bedeutet dies, dass an einer solchen Stelle die Tangente an den Graphen von $f$ waagrecht verläuft. Die Nullstellen von $f\text{'}(x)$ liegen laut Aufgabenstellung bei $x_1=-4$, $x_2=0$ und $x_3=3$. Da $f$ auf $]-4.5;-4[$ monoton wächst und auf $]-4;0[$ monoton fällt, ist $x_1=-4$ eine Maximalstelle. Analog begründet man, dass bei $x_2=0$ eine Minimalstelle vorliegt. (Bei $x_3=3$ handelt es sich um eine Sattelstelle.)