Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.3 Rechenregeln

7.3.2 Vielfaches und Summe von Funktionen


Im Folgenden bezeichnen u,v:D zwei beliebige differenzierbare Funktionen sowie r eine beliebige reelle Zahl.
Summenregel und Vielfaches von Funktionen 7.3.1
Sind u und v als differenzierbare Funktionen vorgegeben, dann ist auch die Summe f:=u+v mit f(x)=(u+v)(x):=u(x)+v(x) differenzierbar, und es gilt

f'(x)=u'(x)+v'(x).


Auch das r-fache einer Funktion, also f:=r·u mit f(x)=(r·u)(x):=r·u(x) ist differenzierbar, und es gilt

f'(x)=r·u'(x).


Mit diesen beiden Rechenregeln und der Ableitungsregel für Monome xn lässt sich z.B. jedes beliebige Polynom ableiten. Es folgen einige Beispiele:
Beispiel 7.3.2
Das Polynom f mit dem Funktionsterm f(x)= 1 4 x3 -2 x2 +5 ist differenzierbar, und man erhält

f'(x)= 3 4 x2 -4x.

Die Ableitung der Funktion g: ]0;[ mit g(x)= x3 +ln(x) ist

g': ]0;[    mit   g'(x)=3 x2 + 1 x = 3 x3 +1 x .

Ableiten der Funktion h:[0;[ mit h(x)= 4-1 · x2 -x= 1 4 x2 +(-1)· x 1 2 führt für x>0 auf

h'(x)= 1 2 x- 1 2 x- 1 2 = x 3 2 -1 2x .