7.5.3 Aufgaben

Maximaler Definitionsbereich
Es gilt $f(x)=-x(x-2)e{}^x$ und $e{}^x>0$ für alle $x\in ℝ$; damit ist $D_f=ℝ=]-\infty ;\infty [$ der maximale Definitionsbereich.  
Achsenschnittpunkte
Schnittpunkte mit der $x$-Achse (Nullstellen der Funktion) liegen bei $x_1=0$ und $x_2=2$, was auf die Punkte $(0;0)$ und $(2;0)$ führt. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $(0;0)$.  
Symmetrie
Die Funktion $f$ ist weder gerade noch ungerade, und damit ist der Graph von $f$ weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs.  
Grenzverhalten
Da die Funktion für alle reellen Zahlen definiert ist, müssen nur die Asymptoten bei $\pm \infty$ untersucht werden:

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}-x(x-2)e{}^x\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}-\infty \mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{und}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\underset{x\to -\infty }{lim}-x(x-2)e{}^x\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}0\hspace{0.5em}.}$

Somit ist $y=0$ für $x\to -\infty$ eine Asymptote.  
Ableitungen
Die ersten beiden Ableitungen von $f$ führen auf

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f\text{'}(x)}& =\hfill & (2-2x)e{}^x+(2x-x^2)e{}^x=(2-x^2)e{}^x=-(x^2-2)e{}^x\hspace{0.5em},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{f\text{'}\text{'}(x)}& =\hfill & -2xe{}^x+(2-x^2)e{}^x=-(x^2+2x-2)e{}^x\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
 
Monotonieverhalten und Extremwerte
Lösungen von $f\text{'}(x)=0$ sind $x_1=-\sqrt{2}$ und $x_2=\sqrt{2}$. Weiter ist $x_1<x_2$ und

${\displaystyle f\text{'}(x)\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}-(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})e{}^x\hspace{0.5em}.}$

Auf $]-\infty ;-\sqrt{2}[$ ist $f\text{'}$ negativ und damit $f$ monoton fallend.
Auf $]-\sqrt{2};\sqrt{2}[$ ist $f\text{'}$ positiv und damit $f$ monoton wachsend.
Auf $]\sqrt{2};\infty [$ ist $f\text{'}$ negativ und damit $f$ monoton fallend.
Somit ist $x_1=-\sqrt{2}$ Minimalstelle und $x_2=\sqrt{2}$ Maximalstelle.  
Wendepunkte
Die notwendige Bedingung für Wendestellen $f\text{'}\text{'}(x)=0$ führt auf die quadratische Gleichung $x^2+2x-2=0$. Die Lösungen sind $w_1=\frac{-2-\sqrt{4+8}}{2}=-1-\sqrt{3}$ und $w_2=\frac{-2+\sqrt{4+8}}{2}=-1+\sqrt{3}$.  
Kr\"mmungsverhalten
Da die Wendepunkte bekannt sind, muss nur noch bestimmt werden, wann $f\text{'}\text{'}(x)$ größer oder kleiner Null ist. Die Ableitungen der Exponentialfunktion sind immer größer Null, von daher bestimmt der quadratische Term das Vorzeichen.
Auf $]-\infty ;-1-\sqrt{3}[$ ist $f\text{'}\text{'}(x)$ negativ und damit $f$ konkav.
Auf $]-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}[$ ist $f\text{'}\text{'}(x)$ positiv und damit $f$ konvex.
Auf $]-1+\sqrt{3};\infty [$ ist $f\text{'}\text{'}(x)$ negativ und damit $f$ konkav. 
Skizze des Graphen