Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.3 Rechenregeln

7.3.3 Produkt und Quotient von Funktionen


Produkt- und Quotientenregel 7.3.3
Auch das Produkt von Funktionen, f:=u·v mit f(x)=(u·v)(x):=u(x)·v(x), ist differenzierbar, und es gilt die Produktregel

f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x).


Der Quotient von Funktionen, f:= u v mit f(x)=( u v )(x):= u(x) v(x) , ist für alle x mit v(x)0 definiert und differenzierbar, und es gilt die Quotientenregel

f'(x)= u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x) (v(x))2 .


Auch diese Rechenregeln sollen anhand einiger Beispiele veranschaulicht werden:
Beispiel 7.3.4
Gesucht ist die Ableitung von f: mit f(x)= x2 ·ex . Anwenden der Produktregel mit (z.B.) u(x)= x2 und v(x)=ex führt auf u'(x)=2x und v'(x)=ex . Werden diese Teilergebnisse mit der Produktregel zusammengesetzt, dann resultiert die Ableitung der Funktion f:

f':,xf'(x)=2xex + x2 ex =( x2 +2x)ex .

Als Nächstes soll die Tangensfunktion g mit g(x)=tan(x)= sin(x) cos(x) ( cos(x)0) untersucht werden. Durch Vergleich mit der Quotientenregel liest man u(x)=sin(x) und v(x)=cos(x) ab. Mit u'(x)=cos(x) und v'(x)=-sin(x) können die Teilergebnisse mit Hilfe der Quotientenregel zur Ableitung der Funktion g zusammengefügt werden; es folgt:

g'(x)= cos(x)·cos(x)-sin(x)·(-sin(x)) cos2 (x) .

Dieses Ergebnis lässt sich zu einem der folgenden Ausdrücke zusammenfassen:

g'(x)=1+ ( sin(x) cos(x) )2 =1+ tan2 (x)= 1 cos2 (x) .

Für das letzte Gleichheitszeichen wurde der in Modul 5 (Abschnitt 5.6.2) besprochene Zusammenhang sin2 (x)+ cos2 (x)=1 verwendet.

Aufgabe 7.3.5
Berechnen Sie die Ableitung von f: mit f(x)=sin(x)· x3 , indem Sie dieses Produkt in zwei Faktoren zerlegen, die Ableitungen bilden und diese mit Hilfe der Produktregel zusammensetzen:
  1. Der linke Faktor u(x) =
    führt auf u'(x) = .
  2. Der rechte Faktor v(x) =
    führt auf v'(x) = .
  3. Für das Produkt f gilt daher f'(x) = .

Aufgabe 7.3.6
Berechnen Sie die Ableitung von f: ]0;[ mit f(x)= ln(x) x2 , indem Sie diesen Quotienten in Zähler und Nenner zerlegen, die Ableitungen bilden und diese mit Hilfe der Quotientenregel zusammensetzen:
  1. Der Zähler u(x) =
    führt auf u'(x) = .
  2. Der Nenner v(x) =
    führt auf v'(x) = .
  3. Für den Quotienten f gilt f'(x) = .