Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.5 Anwendungen

7.5.5 Beispiel


Dazu soll ein Beispiel etwas genauer betrachtet werden: Es geht also um die Minimierung der Oberfläche einer zylinderförmigen Dose bei einem vorgegebenen Volumen (Grundfläche mal Höhe)

V=π r2 h=1,

wobei r der Radius der Grundfläche und h die Höhe der Dose sind. Die Oberfläche setzt sich aus dem Deckel und dem Boden (jeweils mit einer Fläche der Größe π r2 ) und der Mantelfläche (der Größe 2πrh) zusammen, und man erhält O=2π r2 +2πrh. Die Oberfläche der Dose ist eine Funktion vom Radius r und von der Höhe h. Im Gegensatz dazu wird dem Volumen ein fester Wert zugeordnet (Nebenbedingung). Es kann also geschrieben werden:

O(r,h)=2π r2 +2πrh.

Wegen der Nebenbedingung, dass V=π r2 h=1 sein soll, kann man dieses Problem in ursprünglich zwei Variablen ( r und h) auf ein Problem mit nur noch einer Variablen reduzieren. Umformen des Volumens nach der Höhe der Dose führt auf:

π r2 h = 1    h = 1 π r2 .

Nach dem Einsetzen dieser Formel in die Funktion O(r,h) resultiert eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt und die der Einfachheit halber ebenfalls O genannt werde:

O(r,h)=2π r2 +2πrh=2π r2 +2πr 1 π r2 =2(π r2 + 1 r )=O(r).

Nach dieser Manipulation kann die Frage nach der minimalen Oberfläche der Dose ganz analog zu den Extremwertaufgaben von Funktionen bearbeitet werden. Es wird also die erste Ableitung der Funktion O nach der Variablen r gebildet und diese gleich Null gesetzt:

O'(r)=2(2πr- 1 r2 ) = 0    2πr = 1 r2    2π r3 = 1     r3 = 1 2π    r = 1 2π 3.

Für die letzte Äquivalenzumformung wurde verwendet, dass der Radius r keine negativen Werte annehmen kann. Einsetzen dieses Ergebnisses in die zweite Ableitung von O dient der Überprüfung, ob wirklich ein Minimum gefunden wurde ( O''(r)=4π+4/ r3 ):

O''( 1 2π 3)=4π+ 4 ( 1 2π 3)3 =12π>0.

Für den Radius r= 1 2π 3 wird die Oberfläche der zylindrischen Dose mit dem gegebenen Volumen V=1 minimal. Die Höhe erhält man in diesem Fall zu h= 1 π ( 1 2π 3)2 = 4 π 3. Wird eine Dose mit diesen Maßen hergestellt, wird für das im Beispiel vorgegebene Volumen der Materialverbrauch minimiert.